В УНИВЕРСИТЕТ!

Задачи, предлагавшиеся в разные годы при поступлении на естественные факультеты МГУ

Задача 51. В теплоизолированный сосуд, содержащий m₁ = 500 г воды при температуре t₁ = 10 °С, помещено m₂ = 200 г льда, охлажденного до t₂ = –10 °C. Какая температура установится в сосуде? Удельная теплоемкость воды c₁ = 4200 Дж/(кг • К), удельная теплоемкость льда c₂ = 2100 Дж/(кг • К), удельная теплота плавления льда l = 3,3 • 10⁵ Дж/кг. Потерями тепла пренебречь.

Анализ условия

Так как вода и лед имеют разные температуры, то при их контакте происходит теплообмен: вода охлаждается, отдавая некоторое количество теплоты льду, а лед нагревается. При этом может оказаться, что вода охладится до 0 °С, а лед до этой температуры не нагреется. Тогда вода будет замерзать, отдавая при этом теплоту льду для его нагревания. Смесь воды и образовавшегося из нее льда будет иметь температуру 0 °С. Если вся вода замерзнет, а температура льда так и не поднимется до 0 °С, то лед будет остывать до тех пор, пока между этими телами не установится равновесие с температурой q, тогда теплообмен прекратится. Но процесс может идти и по-иному: после нагревания льда до 0 °С лед может таять, а вода все еще остывать, имея температуру t > 0. Это зависит от конкретных количеств теплоты, которые могут отдать каждое из тел.

Решение

Найдем количество теплоты, которое отдаст вода при остывании от 10 до 0 °С:

Q₁ = c₁m₁DT₁ = 4200 Дж/(кг • К) • 0,5 кг • 10 К =   21 кДж.

Количество теплоты, которое требуется, чтобы нагреть лед от –10 до 0 °С, равно:

Q₂ = c₂m₂DT₂ = 2100 Дж/(кг • К) • 0,2 кг • 10 К = 4,2 кДж.

Так как Q₂ < Q₁, то лед нагреется до 0 °С, а вода будет иметь температуру выше 0 °С. Поэтому лед начнет таять. Количество теплоты Q₃, необходимое для того, чтобы весь лед растаял, равно:

Q₃ = lm₂ = 3,3 • 10⁵ Дж/кг • 0,2 кг = 66 кДж.

Как видно, Q₃ > Q₁ – Q₂, и растает не весь лед, а только его часть. Следовательно, в сосуде будет находиться смесь воды и льда при температуре q = 0 °С.

Задача 52. Результатом работы тепловой машины был подъем груза массой m = 10³ кг на высоту h = 20 м. Отношение количества теплоты, полученного за один цикл от нагревателя, к температуре нагревателя   разность температур нагревателя и холодильника T_н – T_x = 125 К. Сколько циклов n было совершено за время подъема груза? Считайте, что вся механическая работа машины затрачена на подъем груза, а тепловая машина – идеальная.

Решение КПД тепловой машины равен Если тепловая машина идеальная, то ее КПД будет максимальным и равным:

Тогда . Отсюда полезная работа, совершаемая тепловой машиной за один цикл, равна:

Полезная работа при подъеме груза совершается силой реакции опоры Q:

А = Qh cos 0° = Qh.                       (2)

Будем считать, что груз поднимается равномерно. Тогда:

Q + mg = 0,

или для проекций:      Q – mg = 0,

Q = mg.                           (3)

Подставляя (3) в (2), получим: A = mgh. [Можно проще, без предположения о равномерном подъеме груза, что в задаче не оговорено: полезная работа равна изменению потенциальной энергии груза: A =  mgh. – Ред.]

Пусть для подъема груза потребовалось n циклов работы тепловой машины, тогда с учетом (1) получим:

Проверка решения по размерности

C этой точки зрения задача решена верно, тогда:

Задача 53. Каким должно быть сопротивление резистора R₂, чтобы разность потенциалов между точками A и B была равна нулю? R₁ = 10 Ом, R₃ = 20 Ом, R₄ = 40 Ом, R₅ = 50 Ом.

Анализ условия

Для вычисления сопротивления R₂ рассчитаем значения токов, протекающих через резисторы, учитывая, что резисторы R₃ и R₄ соединены последовательно, резисторы R₂ и R₅ – параллельно, R₁ и эквивалентный резистор R₂₅ – последовательно, а эквивалентные резисторы R₁₂₅ и R₃₄ – параллельно.

Пусть разность потенциалов между точками C и D равна U. Тогда, по закону Ома для участка цепи, токи в ветвях будут равны:

Чтобы разность потенциалов между точками A и B была равна нулю, падение напряжения на резисторе R₁ должно быть равно падению напряжения на резисторе R₃:

Задача 54. В однородном магнитном поле находится замкнутая обмотка квадратного сечения, состоящая из N = 1000 витков. Направление линий поля перпендикулярно плоскости витков. Индукция магнитного поля равномерно возрастает на DB = 2 • 10^–2 Тл за время Dt = 0,1 с, в результате чего в обмотке выделяется количество теплоты Q = 0,1 Дж. Поперечное сечение провода обмотки S = 10^–6 м², удельное сопротивление r = 10^–7 Ом • м. Найдите размер витка (сторону квадрата).

Анализ условия

Поток вектора магнитной индукции через витки обмотки возрастает равномерно, в результате чего в каждом из витков наводится ЭДС индукции. Под действием ЭДС в витках начнет протекать постоянный индукционный ток.

Решение

ЭДС индукции, наводимая в каждом витке, по закону Фарадея, равна Так как витки включены последовательно друг к другу, то общая величина ЭДС в обмотке составит:

По закону Ома, в обмотке будет протекать ток где R – сопротивление обмотки. Изменение магнитного потока через каждый виток DF = a²DB, следовательно, Поскольку где l = 4aN – длина проводника обмотки, то:

По закону Джоуля–Ленца, в обмотке выделится количество теплоты Q = I²RDt. Тогда получим:

Отсюда:

Проверка решения по размерности

С этой точки зрения задача решена верно, тогда:

a =  =  » 0,22 (м).