В УНИВЕРСИТЕТ!

Задачи, предлагавшиеся в разные годы при поступлении на естественные факультеты МГУ

Задача 48. Тонкая однородная доска лежит, касаясь средней точкой поверхности полусферы радиусом R = 2 м. Коэффициент трения между доской и полусферой  
При какой наименьшей высоте h центра тяжести доски (от горизонтального основания полусферы) доска не будет соскальзывать с полусферы?

Анализ условия

Однородная доска взаимодействует с Землей и с полусферой, на нее действуют сила тяжести mg и реакция опоры Q. Так как на неподвижную доску действуют всего две силы [принято разделять силу действия опоры на доску Q на силу нормальной реакции Q_n и силу трения F_тр. – Ред.], одна из которых – сила тяжести – направлена вертикально, то и вторая сила – сила реакции – будет направлена вертикально.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с Землей, и будем считать ее инерциальной. Начало координат совместим с точкой соприкосновения доски и полусферы, ось Ox направим по касательной к полусфере, тогда ось Oy, перпендикулярная к Ox, перпендикулярна касательной и проходит через центр полусферы O.

Пусть угол между радиусом R полусферы, проведенным в точку касания, и горизонталью равен a. Тогда угол между вектором силы тяжести и осью Ox также равен a (углы со взаимно перпендикулярными сторонами).

Запишем условие равновесия доски:

mg + Q = 0.

Для проекций векторов на оси координат:

Ox: mg cos a – F_тр = 0,
Oy: –mg sin a + Q_n = 0. (1)

В критической ситуации, перед началом скольжения, сила трения Fтр достигает своей максимальной величины, равной максимальной силе трения покоя F_{тр. пок. макс}:

F_тр = F_{тр. пок. макс.}

По закону Кулона, она равна:

F_{тр. пок. макс} = mN,

где N – сила нормального давления, причем:

N = Q_n.

Тогда mN = mQ_n = mmg sin a, и (1) принимает вид:

mg cos a – mmg sin a = 0 Ю cos a = m sin a, ctg a = m.

Из прямоугольного треугольника с углом a, по определению, получим:

Проверка решения по размерности

С этой точки зрения задача решена верно, тогда:

Задача 49. На тележке закреплен кронштейн, к которому на невесомой и нерастяжимой нити подвешен маленький шарик массой m = 0,02 кг. Тележка, двигавшаяся горизонтально с постоянной скоростью v = 0,7 м/с, внезапно останавливается, наткнувшись на препятствие. Найдите натяжение нити при прохождении маятником положения равновесия. Период малых колебаний T = 1,2 с. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Анализ условия

Если на невесомой и нерастяжимой нити подвешен шарик, размерами которого можно пренебречь по сравнению с длиной нити l, то данная система представляет собой математический маятник, период малых колебаний которого определяется по формуле:

На шарик действуют две силы: сила тяжести mg и сила упругости F_упр, а он в свою очередь действует на нить с силой натяжения F. Когда тележка движется, то шарик движется вместе с ней и имеет скорость v. При внезапной остановке шарик, по-прежнему продолжая движение вперед со скоростью v, поднимается на некоторую высоту h и начинает колебаться около положения равновесия.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с Землей, и будем считать ее инерциальной. По теореме о кинетической энергии найдем скорость шарика v₁ в момент прохождения им положения равновесия:

где A_внеш – работа внешних сил, действующих на шарик, равная сумме работ силы тяжести и силы упругости:

A_внеш = А_mg + A_Fупр.

Работа силы тяжести A_mg = 0, т.к. шарик возвращается в первоначальное положение. работа силы упругости тоже равна нулю, потому что эта сила направлена по нити, т.е. по радиусу вращения, а значит, перпендикулярно вектору скорости. Тогда:

Запишем уравнение движения шарика в момент прохождения им положения равновесия:

F_упр + mg = ma.

Спроецируем это равенство на направление радиуса:

F_упр = ma_ц + mg = m(g + a_ц).

По третьему закону Ньютона, искомая сила натяжения нити есть F = F_упр. Связь между центростремительным ускорением a_ц и скоростью движения шарика определяется соотношением:

Тогда:

Проверка решения по размерности

С этой точки зрения задача решена верно, тогда:

Задача 50. Железный шарик, движущийся со скоростью v = 40 м/с, ударяется об абсолютно гладкую плоскость, налетая на нее под углом a = 60°. Найдите угол b, под которым шарик отразится от плоскости, если при ударе он нагрелся на DT = 0,85 К. Удельная теплоемкость железа с = 0,46 • 103 Дж/(кг • К). Считайте, что выделяющееся тепло пошло только на нагревание шарика.

Анализ условия

Во время удара на шарик действует сила тяжести mg и реакция опоры Q, направленная перпендикулярно плоскости, так как трения нет. Удар неупругий, и часть механической энергии идет на нагревание шарика.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с Землей, и будем считать ее инерциальной. Поскольку плоскость гладкая, проекция вектора импульса шарика на ось x сохраняется, откуда:

На основе закона сохранения энергии получаем:

где q – количество теплоты, идущее на нагревание шарика и равное cmDT. Тогда:

Подставляя (2) в (1), получим: