В.А.ЕМЕЛЬЯНОВ,
Автодорожный лицей им. А.А.Николаева, г. Москва

Основы специальной теории относительности

Разноуровневые вопросы и задачи

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета, т.е. такие, в которых выполняется закон инерции и скорость света в вакууме является универсальной постоянной.

Постулаты теории относительности

Первый постулат: законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета. Это обобщение принципа относительности Ньютона на законы не только механики, но и всех других областей физики, носит название принципа относительности Эйнштейна.

Второй постулат: свет распространяется в вакууме с определенной скоростью c, не зависящей от скорости источника или наблюдателя. Согласно специальной теории относительности (СТО) скорость света в вакууме является абсолютной величиной, а такие абсолютные с точки зрения классической механики Ньютона понятия, как длина и время, стали относительными.

Из постулатов СТО следует, что скорость света в вакууме является предельно возможной. Никакой сигнал, никакое воздействие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме.

Релятивистский закон сложения скоростей: если в неподвижной ситеме отсчета скорость тела и скорость движущейся системы отсчета направлены по одной прямой, то:

где u ' – скорость движения тела в движущейся системе отсчета; v – скорость движущейся системы K ' относительно неподвижной системы K;
u – скорость тела относительно неподвижной системы отсчета K (рис. 1).

Релятивистское замедление времени

Если t₀ – интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной и той же пространственной точке, неподвижной относительно системы K ', а t – интервал времени между этими же событиями в системе K, то

где c – скорость света в вакууме. Время t₀, отсчитываемое по часам, покоящимся относительно данного тела, называется собственным временем. Оно всегда меньше времени, измеренного по движущимся часам: t₀ < t.

Релятивистское сокращение длины

Если l₀ – длина расположенного вдоль оси x ' стержня в системе K ', относительно которой он покоится, а l – длина этого стержня в системе K, относительно которой он движется вдоль оси x со скоростью v, то:

Поперечные размеры движущегося стержня не изменяются. Линейный размер стержня l₀ в той системе отсчета, где он покоится, называется собственной длиной. Эта длина максимальна: l₀ > l.

Импульс движущегося тела (релятивистский импульс):

Полная энергия тела или системы тел:

Кинетическая энергия движущегося тела:

где E₀ = mc² – энергия покоящегося тела.

Соотношение Эйнштейна

Энергия, импульс и масса. Для свободной частицы E² = p²c² + m²c⁴.

При изменении массы тела на Dm выделяется эквивалентная энергия DE = Dmc².

Примеры решения задач

Задача 1. Две частицы движутся в вакууме вдоль прямой навстречу друг другу со скоростями 0,5 с и 0,75 с. Определите их относительную скорость.

Дано:

u = 0,5 с,
v = 0,75 с.
________

u ' – ?

Решение

Свяжем с первой частицей неподвижную систему отсчета K, относительно которой она движется со скоростью u. Со второй частицей свяжем систему K ', движущуюся вдоль оси x со скоростью v относительно неподвижной системы K в направлении, противоположном оси x, то есть противоположном скорости u. Используя релятивистский закон сложения скоростей и учитывая, что проекция скорости v на ось x отрицательна, запишем выражение для скорости в неподвижной системе отсчета:

Отсюда находим относительную скорость частиц u ':

Подставляя численные значения, имеем:

Задача 2. Время жизни p-мезона в системе отсчета, связанной с ним, равно 2,6 • 10^–8 с. Определите время жизни p-мезона для наблюдателя, относительно которого он движется со скоростью 0,99с.

Дано:

t₀ = 2,6 • 10^–8 с,
v = 0,99 с.
_______

t – ?

Решение

Время жизни p-мезона, который движется со скоростью v, найдем по формуле:

где t₀ –  собственное время жизни p-мезона. Подставляя численные данные, получаем:

Задача 3. Жесткий стержень AB длиной l₀ = 1 м покоится в системе K ' (рис. 2). Стержень расположен так, что составляет угол j₀ = 45° с осью x '. Определите длину l и угол j в системе K, если скорость v системы K ' относительно K равна 0,8 с.

Дано:

l₀ = 1 м,
j₀ = 45°,
v = 0,8 с.
________

l – ? j – ?

Решение

Если отрезок, изображающий стержень, разложить на две компоненты, параллельные осям x ' и z ' соответственно, то длины его компонент, измеренные в системе K ', будут равны Dx ' = l₀ cos j₀, Dz' = l₀ sin j₀. При переходе от системы K' к K вертикальная компонента перпендикулярна v и не испытывает никакого сокращения, а горизонтальная компонента, параллельная v, сокращается. Тогда:

Длина стержня, измеренная наблюдателем из K, будет равна:

Подставляя численные значения величин, получаем:

Для определения угла j воспользуемся соотношением:

Тогда:

Задача 4. Протон движется со скоростью 0,75 с. Определите его энергию покоя, полную энергию и кинетическую энергию.

Дано:

v = 0,75 с,
m = 1,67 • 10^–27 кг,
c = 3 • 108 м/с.
E₀ – ? E – ? E_к – ?
________

Энергия покоя протона определяется по формуле Эйнштейна: E₀ = mc².

Полная энергия протона:

В релятивистской механике кинетическая энергия E_к частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя E₀ этой частицы: E_к = E – E₀. Подставляя числовые значения величин, получаем:

Первый уровень

1. Какие системы отсчета называются инерциальными?
2. Сформулируйте и разъясните содержание первого постулата СТО – принципа относительности Эйнштейна.
3. В чем отличие первого постулата теории относительности в релятивистской физике от принципа относительности в классической физике?
4. Сформулируйте второй постулат СТО.
5. Сформулируйте закон сложения скоростей в классической механике.
6. Напишите релятивистский закон сложения скоростей.
7. Покажите, что классический закон сложения скоростей является частным случаем релятивистского закона сложения скоростей.
8. Может ли электрон двигаться со скоростью, превышающей скорость света в данной среде?
9. Какое время, отсчитанное между событиями, называется собственным?
10. В каких условиях наблюдается эффект замедления времени?
11. Что такое собственная длина стержня? Одинакова ли длина стержня в различных инерциальных системах отсчета? Имеет ли смысл понятие длина стержня вне связи с системой отсчета?
12. Какой стала бы длина тела в направлении вдоль скорости движения относительно неподвижного наблюдателя при v = c?
13. Какое выражение имеет закон релятивистской динамики?
14. По какой формуле определяется релятивистский импульс тела?
15. Что такое энергия покоя тела?
16. В чем состоит универсальный характер взаимосвязи импульса, энергии и массы тела?
17. Нагретая добела железная деталь охлаждена до комнатной температуры. Произошло ли изменение массы детали?

Второй уровень

18. Две космические ракеты движутся по одной прямой в одном направлении со скоростями 0,6 с и 0,8 с относительно неподвижного наблюдателя. Определите скорость удаления второй ракеты от первой по классической и релятивистской формулам сложения скоростей.
19. Две ракеты, снабженные ионными двигателями, приближаются одна к другой с противоположно направленными скоростями, равными 0,80 с и 0,70 с, относительно наблюдателя, покоящегося в некоторой точке на линии их сближения. Определите относительную скорость ракет по законам классической и релятивистской механики.
20. Определите количество лет, прошедших на Земле, если в космическом корабле при скорости его движения относительно Земли, равной 0,80 с, прошло 12 лет.
21. Определите промежуток времени, прошедший за 35 земных лет на звездолете, движущемся относительно Земли со скоростью 0,40 с.
22. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью 0,60 с. Определите, во сколько раз замедляется ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя.
23. Определите скорость движения космического корабля относительно Земли, при которой часы на нем идут в четыре раза медленнее, чем на Земле.
24. Собственная длина стержня равна 2,0 м. Определите его длину для наблюдателя, относительно которого стержень перемещается со скоростью 0,98 с, направленной вдоль стержня.
25. Жесткий стержень длиной 1 м измеряется двумя наблюдателями: первый покоится относительно стержня, второй движется вдоль него. Определите скорость движения второго наблюдателя, если измеренная им длина стержня равна 0,50 м.
26. Определите скорость движения космического корабля, если его продольные размеры для земного наблюдателя кажутся в пять раз меньше «истинных».
27. Определите размеры и форму квадратной пластинки с длиной стороны 1 м, которая удаляется от наблюдателя по прямой, параллельной одной из ее сторон, с относительной скоростью 0,80 c. Сравните площади покоящейся и движущейся пластинки.
28. Покажите, что объем куба, движущегося со скоростью v в направлении, параллельном одному из его ребер, равен
29. Определите импульс электрона, летящего со скоростью 0,98 с.
30. Определите кинетическую энергию электрона при движении его со скоростью 0,75 с по классическим и релятивистским формулам.
31. Определите скорость движения любой частицы вещества, при которой ее кинетическая энергия равна энергии покоя.
32. Определите энергию покоя электрона и нейтрона.
33. Одинакова ли масса сжатой и свободной пружины?
34. Определите изменение массы тела, если полная энергия этого тела возросла на 1 Дж.

35. Определите скорость движения частицы, если ее полная энергия равна E, а энергия покоя E₀.
36. Мощность излучения Солнца 3,9 • 10²³ кВт. Определите эквивалентное уменьшение массы Солнца за одну секунду при данном излучении.

Третий уровень

37. Мезон, движущийся со скоростью 0,99 с относительно Земли, пролетел от места своего рождения до точки распада расстояние 4,7 км. Определите собственное время жизни мезона и расстояние, которое пролетел бы мезон относительно Земли, если бы релятивистский эффект относительности интервала времени не имел места.
38. Жесткий стержень покоится в подвижной системе отсчета и ориентирован в ней под углом 37° к оси абсцисс. Определите скорость движения этого стержня параллельно оси абсцисс неподвижной системы отсчета, при которой он с   точки зрения неподвижного наблюдателя наклонен к ней под углом 45°.
39. Покажите, что плотность материала куба, движущегося со скоростью v в направлении, параллельном одному из его ребер, равна
40. Определите скорость движения тела, если его плотность возросла на 10 %.
41. Определите скорость движения стержня, при которой релятивистское сокращение его длины составит 20 %.
42. Определите угол между диагоналями квадрата при его движении со скоростью 0,90 с в направлении, параллельном одной из сторон.
43. Определите скорость и кинетическую энергию, которая должна быть сообщена космическому кораблю массой 104 кг, чтобы его часы по возвращении на Землю показывали вдвое меньшее время, чем часы на Земле.
44. Определите работу, совершаемую однородным электрическим полем при разгоне электрона от скорости 0,980 c до 0,999 c.
45. Протон, имеющий начальную скорость 0,9 c, попадает в однородное электрическое поле и, двигаясь вдоль линии напряженности, полностью теряет свою скорость. Определите разность потенциалов двух точек, между которыми перемещался протон.
46. Определите скорость и импульс частицы массой m, если ее кинетическая энергия равна удвоенной энергии покоя.
47. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы его полная энергия стала в одиннадцать раз больше энергии покоя?
48. Находящаяся в озере вода объемом 2•10⁶ м³, нагрелась на 5 °С. Определите эквивалентное изменение массы.
49. На 1 м² поверхности, перпендикулярной направлению солнечных лучей около Земли, но вне ее атмосферы, приходит ежесекундно примерно 1,4 кДж энергии излучения Солнца. На какое время хватит массы водорода на Солнце, чтобы поддерживать это излучение? Расстояние от Солнца до Земли около 1,5 • 10⁸ км, масса Солнца 2 • 10³⁰ кг, количество водорода составляет 75 % по массе.

Четвертый уровень

50. Электрон испускается под углом 37° к оси x со скоростью 0,5 с. Определите абсолютное значение и направление скорости этого электрона относительно инерциальной системы, движущейся со скоростью с (рис. 3).
51. Стержень собственной длиной l₀ движется в лаборатории поступательно так, что вектор его скорости v образует угол j со стержнем. Определите длину стержня в лабораторной системе отсчета.
52. В лабораторной системе отсчета (K-система) движется стержень со скоростью 0,98 с. По измерениям, произведенным к K-системе, его длина оказалась равной 1,08 м, а угол, который он составляет с осью x, равным 78,7°. Определите собственную длину стержня в K '-системе, связанной со стержнем, и угол, который он составляет с осью x '.
53. Частица массой m0, двигаясь со скоростью 0,8 c, испытывает неупругое столкновение с покоящейся частицей той же массы. Определите скорость и энергию покоя составной частицы, которая образовалась в результате соударения.

Ответы

2. Все инерциальные системы отсчета эквивалентны в отношении любых физических процессов. Система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью относительно данной ИСО, также есть ИСО, поэтому, кроме исходной, имеется множество других ИСО.
8. Может, но его скорость все равно меньше скорости света в вакууме.
10. Эффект замедления времени наблюдается только в тех системах отсчета, которые движутся друг относительно друга со скоростями, близкими к скорости света в вакууме.
11. Собственной длиной стержня l0 называется длина стержня в системе отсчета, относительно которой он покоится; длина стержня в различных системах отсчета неодинакова. Не имеет.
12. Из формулы следует, что при v ® c, l ® 0, следовательно, при v = с длина тела стала бы равной нулю, что невозможно.
15. Энергия покоя тела – это внутренняя энергия тела.
17. Да, произошло, на величину Dm = Q/c², где Q – количество теплоты, отданное деталью окружающей среде при ее охлаждении.
18. 0,2с; 0,385с.
19. 1,5с; 0,96с.
20. 20 лет.
21. 32 года.
22. 1,25.
23. 2,9 • 10⁸ м/с.
24. 0,4 м.
25. 0,866с.
26. 2,94 •10⁸ м/с.
27. Прямоугольник со сторонами 1 м и 0,6 м. Площадь уменьшилась на 0,4 м².
29. 1,34 • 10^–21 кг • м/с.
30. 2,3 • 10^–14 Дж; 4 • 10^–14 Дж.
31. 0,866с =  2,596•108 м/с.
32. 0,51 МэВ;  939,6 МэВ.
33. Масса сжатой пружины больше, чем свободной, на величину Dm =kx²/2c² , где k – коэффициент упругости, Dx – удлинение пружины.
34. 11,1 • 10^–18 кг.
35. 
36. 4,4 • 10⁶ т.
37. 2,21 мкс; 665 м.
38. 0,66с.
40. 0,42с.
41. 0,6с.
42. 47°.
43. 260 000 км/с; 9 • 10²⁰ Дж.
44. 8,9 • 10⁶ эВ.
45. 1,216 • 10⁹ В.
46. 0,943с; 2,83mc.
47. 9,4 • 10⁹ В.
48. 4,67 • 10^–4 кг.
49. 14 400 млрд лет.
50. 0,325с; 67,3°.
51. b =v/c .
52. 1,5 м; 45°.

53. 0,5547с; 2,3m₀.