Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Физика»Содержание №10/2010

Абитуриенту

В. П. Демков,
МАИ (ТУ), г. Москва;
В. В. Озолин,
МАИ (ТУ), г. Москва;
Г. Э. Солохина,
МАИ (ТУ), г. Москва

МАИ-2009: Российская аэрокосмическая олимпиада

МАИПродолжение. См. № 22/2009, 6/2010

Билет 2

рис.1 1. Две материальные точки равномерно движутся в одном направлении по окружностям радиусами R1 = 3 см и R2 = 8 см, лежащим в одной плоскости и имеющим общий центр. Скорость первой точки υ1 = 6 см/с, скорость второй точки υ2 = 12 см/с. Через какой минимальный промежуток времени точки, первоначально находящиеся на одном диаметре, вновь окажутся на одном диаметре?


Дано:

R1 = 3 см,

R2 = 8 см,

υ1 = 6 см/с,

υ2 = 12 см/с.

Решение

рис.2Поскольку угловая скорость первой точки ω1 = υ1/R1= 2 рад/с больше угловой скорости второй точки ω2 = υ2/R2= 1,5 рад/с, то первая точка будет опережать вторую. Угловая скорость первой точки относительно второй ωотн1 - ω2, или формула1

Так как первоначально обе точки находятся на одном диаметре, то угловая координата φ, определяющая положение первой точки относительно второй, с течением времени будет меняться по закону формула2

Точки вновь окажутся на одном диаметре в момент времени, когда угол φ, на который первая точка повернётся относительно второй, станет равен 

формула3

Отсюда находим

формула4

Δt = ?

 

рис.32. На гладкой горизонтальной поверхности находится призма массой М = 4 кг с углом при основании α = 30º, на ней – меньшая призма массой m = 1 кг. На меньшую призму действуют горизонтальной силой F = 12 H, при этом обе призмы движутся вдоль поверхности как одно целое, не изменяя взаимного расположения. Найдите силу трения между призмами.


Дано:

М = 4 кг,

α = 30º,

m = 1 кг,

F = 12 H.

Решение

рис.4На верхнюю призму будут действовать четыре силы: сила F, приложенная к призме, сила тяжести mg, сила нормальной реакции опоры N1 со стороны нижней призмы и сила трения между призмами Fтр. На нижнюю призму также будут действовать четыре силы: сила тяжести Mg, сила нормальной реакции опоры N2 со стороны горизонтальной поверхности и две силы взаимодействия с верхней призмой – сила трения Fтр′ и сила давления N1′, которые, по третьему закону Ньютона, по величине равны силам Fтр′и N1′ и направлены противоположно этим силам.

Поскольку, по условию задачи, обе призмы движутся как одно целое, то их ускорения одинаковы. Выберем инерциальную систему отсчёта и запишем уравнения движения тел в проекциях на оси системы координат XY:

формула5

где учтено, что Fтр′= Fтр и N1′=N1.

Складываем уравнения (1) и (3): (M + m)a = F, и находим ускорение призм: формула6

Выразим из уравнения (2) формула7и подставим в (1) с учётом полученного выражения для ускорения:

формула8

Fтр = ?

 

3. Пуля вылетела из дула ружья со скоростью υ0 = 600 м/с. В высшей точке траектории кинетическая энергия пули равна Ек = 450 Дж. Под каким углом к горизонту произведён выстрел? Масса пули m = 10 г. Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано:

υ0 = 600 м/с,

Ек = 450 Дж,

m = 10 г.

Решение

При отсутствии сопротивления воздуха полная механическая энергия тела, брошенного вблизи поверхности земли с начальной скоростью υ0 под углом α к горизонту, будет сохраняться: в любой момент движения сумма кинетической Ек и потенциальной Еп энергий будет равна начальной кинетической энергии: формула9

В верхней точке траектории Еп = mgh, где формула10 – максимальная высота подъёма тела.

формула11

α = ?

 

4. Тело, подвешенное на пружине, совершает вертикальные гармонические колебания. Координата тела относительно положения равновесия меняется по закону x = Acos(4πt). Через какое время после начала колебаний тело пройдёт путь, равный трём амплитудам колебаний?

Дано:

x = Acos(4πt),

s = 3А.

Решение

Запишем уравнение гармонических колебаний тела в виде

x = Acos(ωt + φ0), (5)

где x – координата тела, отсчитываемая от положения равновесия; A – амплитуда колебаний; ω – циклическая частота; ω0 – начальная фаза.

Сравнивая заданный закон колебаний груза x = Acos(4πt) с (5), получаем: ω = 4πc(–1); φ0 = 0. Следовательно, период колебаний груза

формула12

Поскольку в начальный момент времени t = 0 координата тела, совершающего гармонические колебания по закону x = Acos(4πt) равна x0 = A (т. е. тело начинает движение с крайнего положения), то путь, равный s = 3А, тело пройдёт за время

Δt = (3/4)T = 0,75 ∙ 0,5 = 0,375 с.

Δt = ?

Продолжение следует