Абитуриенту

МЭИ-2008/09: Олимпиадные задачи по физике

Окончание. См. № 23/2009

Задача 8

На плоту, состоящем из n = 20 одинаковых бревён, можно перевозить максимальный груз массой m = 1800 кг. Определите плотность древесины ρ_д, если объём каждого бревна V = 0,3 м³, а плотность воды ρ_в = 1,0 ∙ 10³ кг/м³.

Решение. Чтобы плот держался на плаву, необходимо, чтобы сила тяжести, действующая на него и на перевозимый груз, уравновешивалась силой Архимеда: (M_пл + m)g = F_А.

Масса плота из n брёвен M_пл = nρ_дV.

Согласно закону Архимеда, F_А = nρ_вV g.

(Положив объём вытесненной воды равным nV, мы предполагали предельную нагрузку, когда брёвна почти целиком погружены в воду.)

Подставив M_пл и F_А в первое уравнение, получаем

(nρ_дV + m)g = nρ_вV g ⇒ m = nV(ρ_в – ρ_д).

Откуда получаем ответ:

Задача 9

Какое количество теплоты отводится от газа при изобарном охлаждении m = 0,1 кг гелия от температуры t₁ = 127 °C до температуры t₂ = 27 °C? Молярная масса гелия М = 0,004 кг/моль, универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль ∙ К).

Решение. Согласно первому закону термодинамики, где Q – подводимое количество теплоты, ∆U – изменение внутренней энергии, А – работа газа. Для одноатомного газа, каковым является гелий,

В случае изобарного процесса

A = p∆V = p(V₂ - V₁) = pV₂ - pV₁.

С учётом уравнения состояния идеального газа выражение для работы можно записать:

Теперь, возвращаясь к первому закону термодинамики, запишем подведённое количество теплоты в виде:

Учитывая, что искомое Q_отв = –Q_подв. ≡ Q, получаем ответ:

 

Задача 10

Некоторая масса газа совершает процесс 1–2–3–4, изображённый на p, V-диаграмме. Определите работу газа, если параметры p₁, p₂,V₁, V₂ известны.

Решение. На участке 1–2 (изобарное расширение) газ совершает положительную работу p₂(V₂–V₁), на участке 2–3 (изохорное охлаждение) работа не совершается, на участке 3–4 (изобарное сжатие) газ совершает отрицательную работу p₁(V₁– V₂).

Складывая работы, получаем ответ: А₁₂₃₄ = (p₂– p₁)(V₂ – V₁). Как видно, работа численно равна площади прямоугольника 1–2–3–4.

 

Задача 11

В вертикальном цилиндре под тяжёлым поршнем находится одноатомный газ. При нагревании ему было сообщено количество теплоты Q = 10 кДж. Определите работу газа.

Решение. Так как иного не оговорено, будем считать, что поршень перемещается без трения, поддерживая своим весом постоянное давление в цилиндре. Для изобарного процесса работа газа равна A = p∆V. Согласно первому закону термодинамики, Q = ∆U + A. Изменение ∆U внутренней энергии одноатомного газа равно:

где ν – количество вещества, R – универсальная газовая постоянная (переход от переменной T к переменным p и V мы выполнили при помощи уравнения состояния pV = νRT). Подставляя результат в уравнение первого закона термодинамики, получаем Q = (3/2)A + A = (5/2)A, откуда получаем ответ:

 

Задача 12

Почему вектор напряжённости электрического поля вблизи проводника перпендикулярен его поверхности?

Решение. Поле в металле равно нулю, а значит, его потенциал постоянен во всём проводнике и, в частности, на его поверхности. (Если в какой-то момент это окажется не так, то поле вызовет ток зарядов проводника и заряд перераспределится так, чтобы потенциал стал постоянным.) Но постоянство потенциала требует равенства нулю касательной к поверхности металла составляющей электрического поля вне металла. Значит, вектор напряжённости электрического поля имеет лишь перпендикулярную составляющую к поверхности; иными словами – перпендикулярен поверхности.

 

Задача 13

Пластины заряженного плоского конденсатора попеременно заземляют. Будет ли при этом конденсатор разряжаться?

Решение. Вне плоского заряженного конденсатора всегда имеется небольшое электрическое поле (наличие этого поля называют краевым эффектом). Дело в том, что пластины (назовём их 1 и 2) заряженного конденсатора имеют разные потенциалы φ₁ и φ₂. По определению, – работа электрического поля по перемещению пробного заряда q с пластины 1 на пластину 2 по любому пути (в том числе и по пути вне конденсатора). Так как указанная работа по пути вне конденсатора не равна нулю, то не равно нулю (хоть и невелико) и поле вне конденсатора. Но отсюда следует, что пластины конденсатора имеют разные потенциалы относительно земли (для земли принято считать φ = 0): пластина «+» имеет потенциал выше нуля, пластина «–» – ниже. Поэтому при попеременном соединении пластин с землёй по проводу будет проходить ток, приводящий к уменьшению заряда соответствующей пластины. Конденсатор будет постепенно разряжаться.

 

Задача 14

Электрический чайник имеет две спирали. При включении одной вода в чайнике закипает через t₁ = 10 мин, при включении другой – через t₂ = 5 мин. Через какое время закипит вода, если спирали соединить последовательно?

Решение. Пусть количество теплоты, необходи­мое для закипания чайника, равно Q, напряжение в сети – U, а сопротивления спиралей – R₁ и R₂ соответственно. Тогда, по закону Джоуля–Ленца, можно записать:

Так как при последовательном соединении спиралей их сопротивления складываются, то время t, необходимое для закипания чайника, в интересующем нас случае будет::

 

Задача 15

Потребитель мощностью P = 1000 кВт подключён через линию электропередачи сопротивлением R = 0,1 Ом к шинам подстанции. Какое напряжение U должно быть на шинах подстанции, чтобы потери мощности в линии электропередачи не превышали 5% мощности подстанции?

Решение. Пусть в интересующем нас случае по линии электропередачи идёт ток I. Тогда, по закону Джоуля–Ленца, мощность подстанции равна UI, из которой, согласно условию, потребителю достаётся 95 %: P = 0,95UI.

С другой стороны, по закону Джоуля–Ленца, мощность, теряемая в проводах, равна I²R, что, согласно условию, составляет 5% мощности подстанции: Объединяя формулы, получим уравнение

Следовательно, напряжение на шинах подстанции должно быть не ниже полученной величины.

 

Задача 16

Имеются два внешне одинаковых стержня: один из мягкого железа, другой – магнит. Как определить, какой из стержней магнит?

Решение. Следует взять один из стержней и поднести любым концом к другому: сначала к концу, а потом – к середине. Если сила притяжения стержней в обоих случаях окажется примерно одной и той же, то первый стержень – магнит. Если же сила притяжения между концами стержней заметно больше, то второй – магнит. Дело в том, что магнитная сила, действующая на тела из мягкого железа, тем больше, чем больше неоднородность магнитного поля (сила всегда направлена в сторону возрастания поля). Магнитное поле имеет наибольшее значение и наибольшую неоднородность вблизи полюсов, а полюсы стержневых (полосовых) магнитов всегда расположены на их концах. (При оформлении решения целесообразно привести картину линий магнитной индукции для полосового магнита.) В области середины стержней-магнитов магнитное поле снаружи от них практически равно нулю, и это практически сводит к нулю силу притяжения.

 

Задача 17

В горизонтальном магнитном поле находится прямолинейный проводник, расположенный горизонтально и перпендикулярно вектору магнитной индукции. Какой силы ток должен быть в проводнике, чтобы сила натяжения в поддерживающих его гибких проводах стала равна нулю? Магнитная индукция B = 0,01 Тл, масса единицы длины проводника m/l = 0,01 кг/м.

Решение. Чтобы сила натяжения гибких проводов стала равна нулю, нужно скомпенсировать действующую на проводник силу тяжести силой Ампера F_A, направленной вверх (направление тока следует выбрать в соответствии с правилом левой руки). Тогда условием равновесия будет F_A = mg.

Используя закон Ампера для случая перпендикулярности вектора магнитной индукции и проводника, получим ответ:

 

Литература

1. Физика. Задачи и тестовые задания для вступительных испытаний в МЭИ (ТУ): учеб.пособие для абитуриентов / А.В. Дедов, А.Т. Комов, А.Н. Седов, М.Г. Тимошин; под ред. М.Г.  Тимошина. М.: Изд. дом МЭИ, 2007. 240 с.