Методические страницы

Волноводное распространение отражение света в жидкости

См. также № 15, 17/2009

Описаны простые эксперименты, позволяющие исследовать распространение света в оптически неоднородных средах, рассмотрены математическая и механическая модели оптических явлений, даны задания для самостоятельных исследований. Статья написана так, что её можно непосредственно рекомендовать учащимся для изучения и последующего планирования исследовательского проекта. Теория явления распространения света в среде с постоянным градиентом показателя преломления рассчитана на учащихся школ и классов с углублённым изучением физики и математики. При необходимости учитель может давать школьникам отдельные задания по соответствующим фрагментам статьи.

В предыдущей статье [1] мы рассказали о полном внутреннем отражении света в оптически неоднородной жидкости. Теперь мы хотим познакомить вас с поразительным по красоте оптическим явлением, в котором световой пучок, изгибаясь и многократно отражаясь, распространяется в узком слое оптически неоднородной среды. Такое волноводное распространение света широко используется, например, в градиентных световодах. Поэтому очень интересно экспериментально исследовать это явление в условиях, которые допускают элементарное объяснение происходящего. Как обычно, мы ставим задачу сформировать у вас не только теоретические, но и экспериментальные умения.

1. Пучок света, выпуклый вниз

Вы уже хорошо знаете, что для получения оптически неоднородной жидкости можно взять водный раствор поваренной соли и ввести его в кювету ниже слоя пресной воды [1]. Плотность солёной воды больше плотности чистой, поэтому такая система будет механически устойчивой. Оптическая плотность солёной воды также больше, чем пресной, поэтому показатель преломления в переходном слое плавно уменьшается в направлении снизу вверх, а световой пучок изгибается в направлении сверху вниз. В результате наблюдается пучок, выпуклый вверх. А что нужно сделать, чтобы световой пучок оказался выпуклым вниз?

Понятно, что для этого показатель преломления оптически неоднородной жидкости сверху должен быть больше, чем снизу. Чтобы система из двух таких жидкостей оказалась механически устойчивой, надо, чтобы сверху была расположена менее плотная жидкость. Но эта менее плотная жидкость должна быть оптически более плотной! Есть ли такие жидкости?

Самое время вспомнить о насыщенном водном растворе мочевины: оптическая плотность его больше, чем у насыщенного водного раствора поваренной соли, а обычная плотность – меньше [1, задание 3]. Это как раз то, что нужно для решения задачи.

Итак, в плоскопараллельную стеклянную кювету налейте насыщенный раствор мочевины и затем через резиновый шланг на дно кюветы (это вы уже умеете) – насыщенный раствор поваренной соли. Направьте на границу раздела жидкостей световой пучок сверху вниз, и вы увидите, как он плавно отклонится вверх (рис. 1). Разумеется, для получения нужного результата вам придётся подобрать угол падения света.

Рис. 1. Искривление пучка света в оптически неоднородном слое между насыщенными растворами поваренной соли и мочевины

Здесь имеет смысл напомнить, что все применяемые в опытах жидкости должны быть слегка подкрашены флюоресцеином. В качестве источника света лучше всего использовать маломощный полупроводниковый лазер, дающий пучок зелёного света.

Техника безопасности: следите за тем, чтобы в глаз не попадал лазерный пучок, идущий непосредственно от лазера или отражённый блестящими поверхностями!

 

2. Цепная линия

Для дальнейшего потребуются несколько формул. Мы достанем их из элементарной математики примерно так же, как фокусник, не объясняя сути фокуса, достаёт из свой шляпы кролика. Бедное животное тут же начинает грызть морковку. Так и наши формулы сразу перемелют физические факты, которые мы им подсунем.

Каждый из вас знает, что е – это основание натуральных логарифмов, теперь вы будете знать, что функцию

называют гиперболическим косинусом. По определению, гиперболический синус это

Совершенно очевидно, что для гиперболических синуса и косинуса справедливо соотношение

ch²x – sh²x = 1. (3)

Кроме того, легко видеть, что производная от гиперболического косинуса равна гиперболическому синусу:

Возьмите компьютер и, пользуясь им, постройте график функции y = chx так, чтобы масштабы по осям декартовой системы координат были одинаковы. Распечатайте получившийся график на листе бумаги и закрепите его на вертикально расположенной картонке или на магнитной доске.

Затем возьмите в руки тонкую металлическую цепочку и расположите её рядом с графиком так, чтобы цепочка свободно висела, закреплённая в двух точках (А и В) графика, лежащих на одной горизонтальной прямой. Изменяйте длину цепочки, и у вас обязательно получится, что цепочка расположится точно по линии графика. На рис. 2 приведена фотография описанного опыта, в котором цепочка несколько поднята над графиком, чтобы можно было их сравнить.

Таким образом, опыт показывает, что в поле тяжести Земли закреплённая в двух точках цепь висит так, что обозначает график гиперболического косинуса. Именно поэтому такой график называют цепной линией.

 

3. Уравнение светового луча

В этом пункте в отличие от предыдущего мы намерены не только сообщить известные математические истины, но и вывести уравнение светового луча в среде, показатель преломления которой линейно зависит от координаты. Не надо бояться приведённых ниже формул, они вполне доступны любому старшекласснику, который хочет исследовать физические явления не только экспериментально, но и теоретически.

В оптически неоднородной среде направим свет в сторону уменьшающихся значений показателя преломления. Опыт показывает, что при этом световой луч изогнётся и обозначит симметричную кривую (рис. 3). Проведём ось Y так, чтобы она совпала с осью симметрии, направим её в сторону роста показателя преломления и выберем начало координат в точке О, где показатель преломления равен нулю. через эту точку перпендикулярно оси Y проведём ось X. Будем считать, что показатель преломления увеличивается в направлении оси Y по линейному закону:

n = ky, (5)

где k = const – постоянный коэффициент пропорциональности. Величина k имеет физический смысл скорости изменения показателя преломления среды в направлении оси Y и называется градиентом показателя преломления:

Для произвольной точки A луча, по закону преломления, имеем где φ ′ и φ ″ – соответственно углы падения и преломления на границе раздела слоёв с показателями преломления n ′ и n″. Это равенство справедливо и для той точки луча С, для которой угол падения φ = π/2. Поэтому вообще

nsinφ = n₀ = const, (7)

где φ – угол входа луча в слой с показателем преломления n, n₀ – показатель преломления среды в том слое, от которого свет испытывает полное внутреннее отражение.

Найдём угол наклона α касательной в произвольной точке B луча. Из геометрических соображений

Отсюда, учитывая (7) и (5), имеем

Докажем, что траекторией луча является цепная линия (гиперболический косинус). В системе координат XY уравнение цепной линии, симметричной относительно оси ординат, очевидно, имеет вид:

где a – некоторый коэффициент, имеющий размерность длины. Угол наклона касательной к цепной линии определяется первой производной от этой функции. Учитывая формулы (4) и (3), получаем

Принимая во внимание выражение (9), имеем

Сравнивая выражения (8) и (10) видим, что первые производные для обеих кривых совершенно одинаковы, если положить, что a = n₀ /k. Раз одинаковы производные, то с точностью до постоянного слагаемого одинаковы и первообразные. Подставляя найденное значение а в (9), получаем уравнение луча:

Значение С найдём из очевидного условия, что при x = 0 угол φ = π/2 и, согласно (7), n = n₀, следовательно, по (5), y = n₀ /k, значит, C = 0. Таким образом, окончательно уравнение луча имеет вид:

Итак, теория показывает, что в оптически неоднородной среде с постоянным градиентом показателя преломления свет распространяется по цепной линии.

 

4. Свет в среде с постоянным градиентом показателя преломления

Полученный только что теоретический результат нетрудно проверить в эксперименте, когда показатель преломления жидкости внизу меньше, чем вверху. Возьмите в руки цепочку и расположите её перед кюветой, в которой распространяется световой пучок, так же, как вы это делали, нарисовав график гиперболического косинуса (см. рис. 2).

Вы увидите, что цепочка располагается примерно так же, как идёт световой пучок (рис. 4, а). Примерно, но не точно. Значит (мы безоговорочно верим правильной математике!), хотя использованная для опыта среда и оптически неоднородна, но градиент показателя преломления в ней не постоянен.

Оставьте кювету с жидкостями на ночь и утром повторите опыт. Вы обнаружите, что теперь цепная линия в точности совпадает с траекторией светового луча (рис. 4, б)!

Отсюда следует, что, во-первых, построенная нами математическая модель явления соответствует действительности и, во-вторых, за несколько часов благодаря взаимной диффузии жидкостей в переходном слое между ними градиент показателя преломления стал практически постоянным.

Внимательно вглядитесь в приведённые на рис. 4 фотографии. Вы видите, что начавшаяся на стенке кюветы кристаллизация мочевины на следующий день развилась настолько, что кристаллы выросли не только наружу, но и внутрь жидкости.

Рис. 4. Сравнение траектории пучка света в оптически неоднородной среде с цепной линией

 

5. Волноводное распространение света

В проделанных до сих пор опытах вы сумели изогнуть световой пучок и вверх, и вниз. Значит, при желании вы сможете заставить распространяться свет и волнообразно, последовательно изгибаясь в ту и другую сторону. Для этого нужно залить в кювету сначала воду, затем водный раствор мочевины и наконец – вод­ный раствор поваренной соли. Вы, конечно, помните, что наливать один раствор поверх другого нельзя, – растворы просто перемешаются. Нужно жидкость большей плотности тонкой струёй вводить на дно кюветы под жидкость меньшей плотности. В соответствии с этим вначале в кювету спокойно налейте воду, затем на дно кюветы аккуратно введите раствор мочевины так, чтобы получился слой толщиной около 2 см, и в заключение вновь на дно кюветы введите водный раствор поваренной соли.

Если теперь вы запустите в торец кюветы узкий световой пучок, то без труда сможете подобрать точку и угол входа пучка так, чтобы свет в вашей оптически неоднородной среде распространялся волнообразно. Возможные варианты опыта представлены на рис. 5.

Рис. 5. Волноводное распространение света: а – сразу после приготовления оптически неоднородной жидкости, б – спустя сутки после начала опыта,
в – вышедший из кюветы пучок отражается от плоского зеркала обратно в кювету

Если вас не приводят в восторг эти замечательные оптические явления, то никакие слова уже не помогут!

 

6. Для самостоятельного исследования

1. Ознакомьтесь со статьёй «Полное внутреннее отражение света в жидкости» Майера В.В., Вараксиной Е.И. (Физика-ПС, 2009, № 17). Выполните рекомендуемые исследования, в частности, измерьте показатели преломления мочевины и подсоленной воды, что нужно для проведения описанных здесь исследований.

2. Прочитайте книгу «Свет в оптически неоднородной среде: Учебные исследования» Майера В.В. (М.: Физматлит, 2007), где описаны учебные экспериментальные исследования физических явлений градиентной оптики, которые можно выполнить в школе и дома, используя самое доступное оборудование.

3. Измерив показатели преломления пресной и солёной воды, а также толщину переходного слоя между этими жидкостями, вычислите соответствующий градиент показателя преломления.

4. Получите градиентную линзу. В ваших опытах тонкий пучок света распространялся в оптически неоднородном слое жидкости волнообразно. Значит, параллельный пучок света в таком слое должен фокусироваться. Экспериментально докажите справедливость этого вывода.

5. Экспериментально подтвердите справедливость формулы (11). Для этого в качестве n₀ возьмите показатель преломления насыщенного водного раствора поваренной соли. Измерьте толщину Δy слоя жидкости (рис. 4, б), в котором световой пучок изгибается. Найдите разность показателей преломления на границах этого слоя Δn = n – n₀, где n – показатель преломления насыщенного водного раствора мочевины. По этим данным, пользуясь определением (6), вычислите градиент показателя преломления k = Δn/Δy. На мониторе компьютера постройте соответствующий найденным величинам график функции (11), распечатайте его в нужном масштабе на прозрачной плёнке, приложите плёнку к стенке кюветы с оптически неоднородным слоем и сравните график с траекторией луча в этом слое.

Продолжение следует