Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные экзамены по физике на факультет ВМК

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2008 г.

Продолжение. См. № 02, 05, 08, 11/09

III. Электродинамика (продолжение)

5 Цепь, изображённая на рисунке, состоит из двух конденсаторов ёмкостями С₁ и С₂, источника с ЭДС и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, резистора и ключа. В течение достаточно длительного времени после сборки схемы ключ находился в положении 1. Какое количество теплоты Q выделится в резисторе после перебрасывания ключа в положение 2? Сопротивлением подводящих проводов и ключа пренебречь.

Решение

В начальном состоянии (когда ключ находился в положении 1) заряд и напряжение на конденсаторе С₁ были равны нулю, а конденсатор С₂ был заряжен до напряжения. Следовательно, начальная энергия системы

После перебрасывания ключа в положение 2 конденсатор С₂ разрядится, а конденсатор С₁ зарядится до напряжения , приобретя заряд q = С₁. Поэтому конечная энергия системы

При зарядке конденсатора С₁ источник переместит по цепи заряд q = С₁, совершив работу A = q = С₁². По закону сохранения энергии A + W₀ = W + Q.

Ответ. Q = 1/2 (С₁ + С₂)².

 

6 Два источника тока с ЭДС ₁ = 10 В и ₂ = 5 В и внутренними сопротивлениями r₁ = 1 Ом и r₂ = 2 Ом соединены в цепь, изображённую на рисунке. Найдите разность потенциалов U_AB между точками A и B и мощность N, выделяющуюся в этой цепи.

Решение

По закону Ома для полной цепи, ток в цепи равен

По закону Ома для участка AB, содержащего ЭДС ₁, разность потенциалов между точками A и B выражается как U_AB = ₁ – Ir₁. Мощность, выделяющаяся в цепи, N = I₂(r₁ + r₂).

 

7 В цепи, изображённой на рисунке, сопротивления резисторов R₁ = 100 Ом, R₂ = 50 Ом, ЭДС источников одинаковы, их внутренние сопротивления пренебрежимо малы. Во сколько раз n изменится ток через резистор R, если полярность подключения источника 1 изменить на обратную?

Решение

В исходном состоянии в схеме текут токи, изображённые на рисунке, причём ток через резистор R равен I = I₂ – I₁. Применяя правила Кирхгофа, имеем:

R₁I₁ + R(I₁ – I₂) = ; R₂I₂ + R(I₂ – I₁) = .

Отсюда

Если полярность подключения источника 1 поменять на обратную, то ток в контуре этого источника изменит направление на противоположное, и ток через резистор R будет I ′= I₁′+ I₂′. Правила Кирхгофа дают в этом случае уравнения:

 

8 Электрическая цепь, схема которой изображена на рисунке, состоит из конденсатора, резистора, источника тока и ключа. Первоначально ключ был разомкнут. Найти ЭДС источника, если известно, что сила тока через источник сразу после замыкания ключа в n = 2 раза больше установившейся силы тока в цепи, а установившееся напряжение на конденсаторе U = 1,75 В.

Решение

Пусть R – сопротивление резистора, r – внутреннее сопротивление источника. Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе равно нулю и скачком измениться не может. Следовательно, в начальный момент ток через резистор не течёт. Поэтому начальный ток через источник

После того как конденсатор зарядится, ток в цепи станет равным Учитывая, что, по условию, I₁/I₂ = n, находим Следовательно,

Установившееся напряжение на конденсаторе

 

9 Небольшой брусок массой m, несущий положительный заряд q, удерживают на наклонной плоскости, образующей угол α с горизонталью. Система находится в однородном магнитном поле индукцией B, направленной перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Брусок отпускают без начальной скорости. Чему равна максимальная скорость бруска υ_max, если коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью равен μ? Ускорение свободного падения g.

Решение

Брусок движется под действием сил, изображённых на рисунке, где mg – сила тяжести, N – нормальная составляющая силы реакции поверхности, F_тр – сила трения, F_Л – сила Лоренца. При этом F_тр = μN, F_Л = qυB, где υ – скорость бруска. Записывая уравнение движения бруска в проекциях на направление наклонной плоскости и на перпендикулярное ей направление, имеем:

ma = mg sinα – μN;

N = mg cosα + qυB.

С увеличением скорости бруска сила трения возрастает, что приводит к уменьшению ускорения. При достижении максимальной скорости ускорение бруска обращается в нуль. Полагая a = 0, получаем ответ:

 

10 Свободная заряженная частица движется в однородном магнитном поле индукцией B по окружности радиусом R. В некоторый момент времени включают однородное электрическое поле, напряжённость E которого направлена параллельно магнитной индукции. Через какое время Δt после включения электрического поля кинетическая энергия частицы увеличится в n = 2 раза? Силу тяжести не учитывать.

Решение

Уравнение движения частицы по окружности в однородном магнитном поле имеет вид:

где m – масса, q – заряд, υ₀ – скорость частицы. Отсюда Таким образом, кинетическая энергия частицы до включения электрического поля

После включения электрического поля частица за время Δt приобретёт в направлении поля скорость и кинетическая энергия частицы станет равной

По условию, E₁ = nE₀. Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

Продолжение следует