Задачи, тесты

Скоро ли сдуется пузырь?

(Задача академика Петра Леонидовича Капицы.)

В статье И.Н.Дубовой «Задачи-оценки» (см. № 22/2008) рассмотрена задача: «Оцените, за какое время выйдет воздух из мыльного пузыря через капилляр». К сожалению, решение дано абсолютно неправильное, и, естественно, оно совершенно не согласуется с опытом. Причём неверен сам физический подход: выведенная формула

говорит, что время t увеличивается с ростом коэффициента поверхностного натяжения σ. А ведь должно быть как раз наоборот: чем больше σ, тем более «эффективно» пузырь будет выдавливать из себя воздух! Итак, σ должен быть в знаменателе. Но нельзя же механически переставить его туда!

В брошюре П.Л.Капицы «Физические задачи» (М.:Знание», 1966) на с. 11 приведена задача 58: «Рассчитать время исчезновения мыльного пузыря, соединённого с атмосферой через заданный капилляр». Но здесь отсутствуют не только решения задач, но даже ответы к ним. Эти задачи были составлены Петром Леонидовичем в 1947–1949 гг., когда он читал курс общей физики в МФТИ. Очевидно, они весьма не элементарны.

В «Сборнике задач по общему курсу физики» (термодинамика и молекулярная физика) под редакцией Д.В.Сивухина (М.: Наука, 1976) на с. 178 приведён ответ к этой задаче:

но решения также нет. Обозначения в обеих формулах одни и те же, но вторая при данных, приведённых в рассматриваемой статье, даёт 107,5 с.

Решим данную задачу, интересную не только физически, но и исторически, т.е. выведем формулу. Сначала качественные соображения. Ясно, что искомое время T тем больше, чем больше радиус R₀ пузыря и плотность ρ газа в нём (например, пузырь с водородом сдуется быстрее воздушного). Очевидно, что время тем меньше, чем больше коэффициент поверхностного натяжения мыльной плёнки (могут быть разные сорта мыла) и чем больше радиус r трубки. Капилляр считаем коротким (масса воздуха в нём во много-много раз меньше массы воздуха в пузыре), а rR₀.

Теперь количественный расчёт. Поверхностная энергия пузыря равна 2σS, ибо у пузыря две поверхности. Пренебрегая толщиной мыльной плёнки, считаем радиусы этих поверхностей равными. площадь поверхности сферы радиусом R есть S = 4πR², значит, поверхностная энергия пузыря равна 8pσR².

По закону сохранения энергии, в процессе уменьшения пузыря его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию выходящего из него воздуха:

где u – мгновенная скорость вытекания воздуха, а dm = –ρdV – весьма малая масса воздуха, вышедшая из пузыря за очень малое время dt, ρ – плотность воздуха,

уменьшение объёма пузыря.
С другой стороны, –dV = u · πr²dt, следовательно,

–4R²dR = ur²dt. (4)

Из формул (3) и (4) исключаем u:

и после очевидных упрощений получаем:

Разделяем в формуле (5) переменные R и t и интегрируем, учитывая пределы интегрирования 0 ≤ R ≤ R₀; 0 ≤ t ≤ T:

Сравнив формулу плотности ρ = m/V с уравнением Клапейрона–Менделеева получим

Но тогда формула (6) переходит в формулу (2). Задача решена.