Задачи, тесты

Старинные весы. Взвешивание

Готовя урок ко «Дню самоуправления» по теме «Весы. Определение массы тела», который должны были провести 11-классники для 7-классников [1], я натолкнулся на несколько задач о старинных весах-безменах, которые мне показались интересными ещё и потому, что в ходе урока «учителя»-одиннадцатиклассники ставили демонстрации с весами, устройство которых в этих задачах разбирается. Для 7-го класса задачи эти явно сложные, но в 9–10-х классах их разбор довольно интересен.

Как уже упоминалось в [1], при раскопках Помпей были найдены всевозможные варианты весов (рис. 1), которые объединяет одна конструкция, – все они по­строены на неравноплечном рычаге [2]. На конце короткого плеча подвешивалась чаша для взвешиваемых тел, а на длинном плече была укреплена неизменная (т.е. неизменной массы) гиря, которую при взвешивании передвигали по этому плечу так, чтобы получилось равновесие. На длинном плече была нанесена равномерная шкала, деления которой соответствовали положениям гири, когда на чашке лежали тела кратной «эталонной» массы.

Рис 1. Безмены, найденные при раскопках Помпей

Ещё совсем недавно на рынках ближайшего Подмосковья можно было встретить безмен, фотография которого представлена на рис. 2, а. Его шкала также равномерная (проградуирована в данном случае в фунтах). Этот безмен конструктивно отличается от римского безмена, назовём его условно торговым. И решим задачу, предложенную А.В.Цингером для обоих видов безменов с равномерной шкалой [3].

Рис. 2. Торговый безмен: а) общий вид: показаны оси рычага; б) схема для расчёта

• [3] № 239. Докажите, что деления так называемых «римских весов» отстоят друг от друга на одинаковые расстояния.

Решения

Римский безмен. Пусть вес груза Р, вес гири Q, а Мg – сила тяжести, действующая на сам безмен, рис. 3. Напишем уравнение моментов относительно точки О (плечи сил см. на рис. 3):

Р ∙ l₀= Q ∙ x + Mg ∙ l,

или

Рис. 3. Римский безмен

Таким образом, x изменяется линейно с весом груза, значит, шкала равномерная. Пусть Р₀ – вес груза эталонной массы m₀ = 1 фунт, тогда соответствующее плечо Δx будет шагом фунтовой шкалы:

• Торговый безмен. Устройство более современного безмена представлено на рис. 2, б. Роль неизменной гири играет коническое утолщение слева, которое неподвижно, Q – суммарная сила тяжести безмена. Подвижная часть состоит из подвеса с осью (т. О₂), на которую опирается через неизменное плечо l₀ крюк с грузом Р, причём крюк также способен поворачиваться вокруг своей оси (т. О₃). При взвешивании груза безмен держат в руке, а подвижная часть смещается вдоль длинного плеча l. То есть конструкция безмена аналогична «римскому», плечо груза неизменно и равно l₀, уравнение моментов аналогично: Р ∙ l₀= Q ∙ x; шаг шкалы определяется такой же формулой:

Разобрав на уроке одну задачу, другую можно с успехом дать на дом. Стоит лишь обратить внимание на существенный момент: устроить равномерную шкалу прибора можно лишь тогда, когда параметр, который лежит в основе измерения, меняется в общем случае линейно: ртуть расширяется линейно с температурой в жидкостном термометре, длина пружины увеличивается линейно в динамометре, сопротивление – в термометре сопротивления и т.п. Если же зависимость носит более сложный характер, то шкала получается неравномерной, что во многих случаях не только неудобно, но и сказывается на точности измерений. В этом смысле представляет интерес следующая задача.

• [3] № 240. Примитивные старинные весы (рис. 4) состоят из стержня, на одном конце которого находится постоянный груз, а на другом – крюк для взвешиваемых тел. При взвешивании кольцо К помещается в таком месте стержня, что получается равновесие. Для градуирования этих весов к крюку последовательно привешивают грузы в 100 г, 200 г, 300 г и т.д., а на стержень наносят деления, отмечающие положение кольца при этих грузах. Докажите, что деления должны получаться не на одинаковых расстояниях друг от друга, а всё ближе друг к другу по мере возрастания числа граммов.

Рис. 4. Русский, или скандинавский, безмен. Шкала обозначена точками

Решение

Конечно, реальный русский, или скандинавский, безмен, как он назван в [2], отличается от описанного выше. Во-первых, он имеет удобную рукоятку, за которую безмен с грузом держат до уравновешивания, поэтому стержень не является однородным, во-вторых, по коромыслу перемещается не кольцо, а верёвочная петля, которая постепенно подвигается к положению равновесия, причём трение о верёвку позволяет безмену не выскользнуть из петли, и, наконец, ручные торговые безмены слишком грубы, чтобы градуироваться 100-граммовыми грузами^*. Как видно из фотографии, шкала безмена не только не равномерная, но и необычная: на ней нанесены точки вместо привычных цифр. Противовес безмена выполнен из латуни, часто он представлял собой воронку, в которую заливали расплавленный свинец [2].

Рис. 5. Схема расчёта моментов сил для русского безмена

Распишем уравнение моментов относительно подвижной точки О₂ (рис. 5). Под Q следует понимать силу тяжести, действующую в целом на безмен:

Пусть вес эталонного груза Р₀, а расстояние между двумя рисками, отвечающими nР₀ – Δx и (n + 1)Р₀, и пусть Q = kР₀ для упрощения рассмотрения вопроса.

Иными словами, при возрастании n риски на коромысле безмена с каждым шагом сближаются пропорционально n². Данный вывод можно проверить экспериментально. Для этого были определены:

– масса безмена (взвешиванием на бытовых весах) M = (1,42 ± 0,04) кг;

– длина l₀ = (38,25 ± 0,25) см – путём уравновешивания безмена без груза,

а также проведена экспериментальная градуировка с помощью торговых гирь. Результаты представлены ниже – в таблице и на графиках. Измерялось расстояние от крюка до середины петли, которое затем пересчитывалось на расстояние до центра тяжести. Было проведено три серии измерений с шагом 500 г, что близко к основной дореволюционной единице измерения фунту: 1 фунт = 405,9 г. Ручным безменом можно измерять массу до пуда (1 пуд = 40 фунтам), поэтому для проверки использовался ещё и калиброванный груз (гантель) массой 8 кг. Точность измерения расстояния не превышала 2,5 мм (толщина верёвки).

Рис. 6. Расстояние от центра тяжести безмена до точки привеса груза в зависимости от его массы

Данные серий измерений были нанесены на график, на котором также изображена расчётная кривая, построенная исходя из измеренных М и l₀. Данные эксперимента хорошо иллюстрируют нелинейный характер зависимости: если на начальном этапе изменение положения петли в 2,5 см соответствует 0,5 кг, то в конце зависимости эти же 2,5 см характеризуют увеличение массы груза на 4 кг. Экспериментальные точки хорошо следуют расчёту, значит, полученная формула имеет практическую ценность! Однако все значения лежат чуть выше, что связано с наличием некоторой систематической ошибки измерений, возможно, из-за того, что крюк безмена – самодельный (обычно у старинных безменов он утерян) и не строго вертикален.

Чтобы проиллюстрировать неравномерность старинной шкалы, были измерены расстояния от центра тяжести безмена до загадочных меток, которые изображены на графике в виде горизонтальных линий, а по оси абсцисс отложена масса в фунтах. С учётом неточности измерений, а также «конструктивных» изменений – новый крюк, – старинная шкала выглядит, как показано на рис. 7.

Рис. 7. Калибровка шкалы безмена

Итак, задача «из Цингера» решена, старинные безмены, которые не только встречаются на «развалах» для туристов в небольших городах России, но и всё ещё хранятся во многих домах, являются простым физическим прибором, работу которого можно изучить на дополнительных часах физики, ведь приветствуется же сейчас проектная деятельность. При этом в рамках этих простых задач рассматриваются вопросы статики, устройство равномерных шкал измерений, сравнение результатов эксперимента с теоретической зависимостью, графическое представление материала, элементы истории физики: единицы массы (веса), приборы.

Римские безмены с равномерной шкалой применялись вплоть до самого недавнего времени, «русский» безмен употреблялся в деревнях в некоторых семьях даже и в послевоенную эпоху – в силу простоты изготовления, – на исследованном экземпляре до сих пор видны чёрточки калибровки, между которыми нанесены «фунтовые» точки-метки. И это, несмотря на то, что использование безмена с переменной точкой опоры было запрещено указом эпохи Павла I двести двенадцать лет назад (в 1797 г.) – по «способности к обману» вследствие сильной неравномерности шкалы – с заменой таких безменов на «контари», безмены с неподвижной точкой опоры [4]. Простота изготовления позволяет и самим школьникам сделать и откалибровать свои безмены – по образцу старинных русских, и здесь будет развиваться важное для физика-экспериментатора качество – умение работать руками.

Литература

1. Бражников М.А., Зюбина И.В. Физика в «День самоуправления». – Физика («ПС»), 2008, № 21.
2. Лакур П., Аппель Я. Историческая физика: Под ред. О.Д.Хвольсона: Т. 1. – М.–Л., Гиз, 1929.
3. Цингер А.В. Задачи и вопросы по физике. – М.: Учпедгиз, 1951.
4. Шостьин Н.А. Очерки истории русской метрологии XI начала XX веков. – М.: Издательство стандартов, 1990.

---

^* Впрочем, в Московском музее археологии можно увидеть миниатюрный русский безмен XVII в.